Un matemático Griego llamado Pitagoras descubrió y probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos la suma de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Algebraicamente, el teorema se escribe  . Este Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura.

bos miembros, luego el teorema de Pitágoras se cumple.

Esta simple pero poderosa ecuación nos puede ayudar a mejorar nuestro conocimiento de la manipulación de números con exponentes. Y como los triángulos rectángulos son tan comunes, nos ayudará a entender lo útil que es manejar términos con exponenciales. La mejor parte es — ni siquiera tenemos que hablar Griego.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una condición que cumplen TODOS LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS y dice así:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Donde «H» es la hipotenusa:

«C» es el cateto mayor:

Y «c» es el cateto menor:

Por tanto, lo primero que hay que saber para poder aplicar el teorema de Pitágoras es saber diferenciar cuál es el cateto mayor, el cateto menor y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

• Los catetos forman siempre un ángulo recto (por eso se llama triángulo rectángulo) y el ángulo recto se simboliza con un cuadrado y un punto en medio. 

• El cateto mayor es el lado mayor de los que forman el ángulo recto y el el cateto menor es el lado menor de los que forman el ángulo recto.

• La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo recto. Además es el lado más largo del triángulo rectángulo:

Ten en cuenta, que no siempre se ve tan claro que se trate de un triángulo rectángulo. También puedes encontrarte que el ángulo recto se encuentre en la parte de arriba del triángulo rectángulo:

 

¿Cuándo se utiliza el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras se aplica cuando en un triángulo rectángulo conocemos 2 de sus lados y queremos calcular cuánto mide el tercero.

En primer lugar, vamos a comprobar que efectivamente se cumple el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, tenemos el siguiente triángulo rectángulo:

Partimos del teorema de Pitágoras:

La hipotenusa es mide 5 cm, el cateto mayor mide 4 cm y el cateto menor mide 3 cm. Sustituimos cada lado por su valor en la fórmula:

Resolvemos los cuadrados:

Y operamos en el segundo miembro:

El resultado es el mismo en ambos lados.

Aquí la demostración de la aplicación del teorema de pitágoras.

Problema 

Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

Ver solución

Problema 7

Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

Ver solución

Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que

• su base, $b$, es la sombra del árbol,
• su altura, $a$, es la altura del árbol y
• su hipotenusa, $h$, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, $a$:

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3,12 metros.

Problema 

Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud.

Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

Ver solución

Según el diagrama, la profundidad de la piscina es de 2,4 metros. Calculamos su longitud:
Tenemos un rectángulo de altura 2,4m y cuya diagonal mide 8,8m. Por Pitágoras, su base $b$ es

Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma, la longitud de la piscina es 9,46 metros.
Para calcular la altura $a$ de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:

Por tanto, la altura de la plataforma es de casi 6 metros por encima del nivel del agua.